Q.大学の教授からの推薦状は出したほうがいいのか？出すとしたらいつ出すのか。

推薦状については企業によって違うので、企業に確かめるのが一番。というよりそれしかない。
昔ほど多くないですが、それでもチラホラ推薦状の提出を求める会社もあります。
提出のタイミングですが、企業側から必要書類という事で通知があると思いますが、もし不安なら、試験前に電話で確認をして見ましょう。
通常、書類の提出は試験前（履歴書等）か入社確定後（保険関係書類等）のどちらかです。
まぁ、推薦状と言っても形式だけの場合が多いので、最近は内定確定後、と言う場合も増えましたが。
ということで、一般的には
１．企業側から通達がある。卒業見込み証明や成績証明と同じく、連絡される。
２．不安なら「試験前」に「電話で」確認する。←特に第一志望の会社なら、念のために確認してもいいと思います。
電話で、と言うのは、各種書類は申し込んでから日数が必要な場合があるため、相手が読んだかどうかがわからないメールでは不安が残るからです。重要で、すぐに答えが必要な事柄については、必ず電話で確認をしましょう。
余裕を持って早めに問い合わせる事をオススメします。